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Berechnungen und Zahlenmaterial

Vermessungsprobleme und die Auswirkungen auf die Form der Pyramide

Der Pyramidenbauer muss Folgendes im Griff haben

Am Rand der Wüste standen abstrakte geometrische Symbole, riesige leuchtend weisse Dreiecke, die von weitem sichtbar waren - ein gewaltiger visueller Eindruck!

Obwohl eine Pyramide eigentlich eine einfache geometrische Form ist, müssen doch einige Grundvoraussetzungen erfüllt sein - genauer Mittelpunkt, Grundfläche mit rechten Winkeln und gleiche Neigungswinkel. Damit die Pyramide optisch stimmt muss zudem die Seitenoberflächen (Verkleidung) eine ebene Fläche bilden und die Spitze (Pyramidion) muss ebenfalls genau ausgerichtet sein. Dies bedingt eine exakte Berechnung jedes Schrittes und kontinuierliche Überprüfung während des Bauvorhabens.
Techniken zur Vermessung und Berechnung der Cheops-Pyramide

Viele Rampenmodelle für den Pyramidenbau vernachlässigen diesen Aspekt - die Pyramide wird von allen Seiten mit den Rampen zugedeckt und eine Überprüfung der Genauigkeit des eigentlichen Baus wird verunmöglicht. Bei den Methoden von Franz Löhner ist dies aber kein Problem.
Bekannteste Rampenmodelle widerlegt
Schritt für Schritt vom Steinbruch bis zur Pyramide (Übersicht)

Als Allererstes muss ein günstiger, das heisst stabiler Untergrund gewählt werden, denn das Absacken des Untergrunds kann zur Bauaufgabe führen. Dies zeigen verschiedene Beispiele aus der Pharaonenzeit (siehe weiter unten). Dies gilt auch für kleinere Pyramiden. So wurde beispielsweise eine der drei Nebenpyramiden der Cheops-Pyramide bewusst näher an die andern angebaut, da der Bauuntergrund nicht stabil genug war.
Mehr Informationen über die Neben- oder Satellitenpyramiden

Ausgangslage Eine Pyramide hat bei einer quadratischen Grundfläche vier gleich grosse geneigte dreickige Seitenflächen, deren Kanten genau in einem Punkt und zwar in der Mitte der Grundfläche zusammenlaufen.	Mittelpunkt Ist der Mittelpunkt verschoben, so neigt sich die Pyramide zur Seite und die Neigungswinkel der vier Seitenflächen sind nicht mehr gleich gross.
Kanten Jede Lage Stein muss mit ihren Kanten exakt parallel zu den darunter liegenden Schicht verlegt werden (Aussenkanten werden sonst verzerrt). Zur Kontrolle wurden deshalb zuerst die Ecksteine und grosse Steine in der Mitte der Seitenflächen verlegt und dann die restlichen Steine in Relation zu diesen Fixpunkten verlegt [3].	Rechte Winkel Die vier Winkel der Grundfläche müssen exakt 90° sein, sonst liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt der Grundfläche (die Pyramide neigt sich auf eine Seite hin).
Neigungswinkel Der Neigungswinkel der Seitenflächen muss gleich bleiben (sonst konkave oder konvexe Seitenflächen und Krümmung des Grates). Diese Genauigkeit konnte garantiert werden, indem man die äusseren Steine bereits im Steinbruch aufs Genauste zurichtete und erst dann zur Pyramide transportierte.	Höhe Wird eine gewisse Endhöhe gewünscht, so muss die Grundfläche und der Neigungswinkel genau bestimmt sein. Ein zu steiler Neigungswinkel kann zu Problemen führen (siehe weiter unten bei der Knickpyramide von Snofru)
Ebene Seitenfläche Der visuelle Gesamteindruck ist wichtig, deshalb müssen die Verkleidungblöcke eine ebene und glatte Fläche ergeben, sonst sieht man Dellen und Beulen. Ausserdem sollte besonders der Pyramidengrat möglichst keine Unhebenheiten aufzeigen. Um dies zu erreichen werden die äusseren Steine im Steinbruch aufs Genauste zugerichtet. Äussere Steine - Glättung von unten nach oben?	Stabilität Die Pyramidenbauer mussten auch die Stabilität der Gesamt-Pyramide berücksichtigen. Bei schlecht gebauten Pyramiden stellt sich das Problem, dass Druckkräfte nach aussen wirken und die Pyramide zum "Zerfliessen" neigt. Eine leichtes Anböschen der Steinlagen zu den Ecken hin diente als Schutz gegen diese schrägen Schubkräfte. Ausserdem wurden die Fundamentplatten mit einer leichten Neigung von 2-3° nach innen verlegt [7]
Nord-Ausrichtung Die 11 Giza-Pyramiden sind alle exakt auf die Himmelsrichtungen und unter einander ausgerichtet. Techniken zur Vermessung und Berechnung der Cheops-Pyramide

Nicht nur die Kontrolle der Pyramidenform auf dem Pyramidenbau selber ist wichtig, sondern auch, dass das Bauunternehmen so geplant ist, dass nur die passenden Steine geliefert werden.

Die richtige Schräge wird im Steinbruch schon zugerichtet und die komplizierten Ecksteine werden ebenfalls schon hier zugehauen. Ein Zuhauen auf dem Pyramidenplateau ist aus verschiedenen Gründen nicht zu empfehlen.
Was spricht dagegen, die Steine auf dem Pyramidenplateau zuzurichten

Welchen Einfluss hat der Neigungswinkel?

Der Neigungswinkel hat einen grossen Einfluss auf die Form der Seitenflächen und bestimmt auch mit, wie gross das Volumen der Pyramide ist.

Eine Pyramide, deren Seitenfläche ein gleichschenkliges Dreieck ist (d.h. der Grat ist gleich lang wie die Seitenlänge der Pyramide und das Dreieck hat einen Winkel von 60°) erzeugt einen besondern visuellen Eindruck. Um dies zu erreichen muss der Neigungswinkel der Seitenflächen 54° 44' (54.73°) sein. Die Ägypter haben einen angenäherten Wert verwendet, etwa für die Knickpyramide wo im unteren Bereich einen Neigungswinkel von 54.5° (54° 30' = Seked von 5 Handbreit 1 Finger) gewählt wurde. In Giza kommt die Chefren-Pyramide mit einem Neigungswinkel von 53.16° am nächsten ans Ideal heran. Für die Cheops-Pyramide wurde ein Neigungswinkel von 51.84° und für die Mykerinos-Pyramide einen von 51.34° gewählt.

Der Neigungswinkel hat jedoch auch einen Einfluss auf das zu verbauende Volumen. Das Beispiel der Chefren-Pyramide zeigt, wie man mit wenigen Mitteln die Pyramide höher erscheinen lassen kann und trotzdem weniger Material verbauen muss [6]. Chefren baute seine Pyramide erstens auf einem etwas höher gelegenen Gebiet als die Cheops-Pyramide (= 10m Höhendifferenz). Seine Baumeister wählten einen steileren Winkel von 53.16° anstatt 51.84° (also einen Seked von 5 Handbreit 2 Finger zu 5 Handbreit 1 Finger). Ausserdem wurde die Seitenlänge von 440 auf 410 Ellen verkleinert. Dies resultierte in einer Reduktion des Volumens von 2'592'968m³ auf 2'222'781m³ (ohne Berücksichtigung der Felsenkerne). Visuell erscheint aber die Chefren-Pyramide höher als die Cheops-Pyramide.

Später, im Mittleren und Neuem Reich haben die Pyramidenbauer steilere Neigungswinkel (über 60°) gewählt, die Form der Pyramiden erinnerten immer mehr an die Form der Obelisken.

Beispiele von Konstruktionsfehlern bei Pyramiden

Die Stabilität der Pyramide war ein äusserst wichtiger Aspekt. Hie und da ging etwas beim Bau schief, vor allem machte den Pyramidenbauern das grosse Gewicht der Pyramide zu schaffen, das auf dem Untergrund und den Kammern lastet. War der Untergrund zu weich, so zeigten die Kammern und Gänge Risse oder brachen sogar zusammen und das Bauwerk geriet in Gefahr, abzusacken.

Cheops-Pyramide in Giza:
Um eine solche Katastrophe zu vermeiden, errichteten wohl auch die Pyramidenbauer über der Königskammer der Cheops-Pyramide sogenannte Entlastungskammern. Die Königskammer bildet einen harten Kern aus Granit, der von weicherem Kalkstein umhüllt ist. Da man festgestellt hat, dass die Kalksteinstützen zwischen den grossen Granitblöcken unter dem enormen Druck aus ihrer Position ausgebrochen sind und die Kalkumhüllung des harten Granitkerns um 15cm abgesackt ist, bestehen heute gewisse Zweifel daran, ob diese Kammern wirklich den Druck entlasten oder ob man sie besser "Belastungskammern" nennen sollte [5].
Die Nebenpyramide G1c wurde wegen des ungünstigen Baugrunds näher an die andern herangebaut, was zeigt, dass sich die Pyramidenbauer der Problematik bewusst waren.
Königskammer, Grosse Galerie und Entlastungskammern
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Knickpyramide von Snofru in Dahschur:
Diese Pyramide ist ein gutes Beispiel, wie wegen zu weichem Untergrunds Probleme während des Baus entstanden und wie die ägyptischen Baumeister versuchten, diese zu beheben.
Die Baumeister wählten einen Untergrund aus weicherem Gestein, da dadurch die aufwendigen Schächte und Kammern leichter gegraben werden konnten. Dies hatte bei den kleineren Pyramiden in Meîdum zu keinen Komplikationen geführt, bei der Pyramide in Dahschur hingegen schon, da diese um ein Stück grösser und schwerer war.
Die Pyramide war zuerst als Bauwerk mit 300 Königsellen Länge und einem Neigungswinkel von 60° geplant [5]. Als die Pyramide etwa 90 Ellen (47m) Höhe erreicht hatte senkten sich die Gesteinsschichten und es bildeten sich Risse.
Darauf wurde die Pyramidenbasis auf 360 Königsellen verlängert und ein Neigungswinkel von 54.46° bestimmt. Belege für diese Erweiterung findet man in der Eingangspassage, wo sich eine 23cm hohe Stufe im Gang befindet, wo sich der zu einem späteren Zeitpunkt angefügte äussere Teil der Pyramide gegenüber dem inneren Kern verschob und absackte [4]. Dies ist im Gang sichtbar (Foto).
Dies löste jedoch die strukturellen Probleme der Pyramide nicht. Wegen Stabilitätsproblemen musste die Grabkammer im Westen mit Balken und einem Zedernstammgerüst abgestützt werden. Ausserdem kann man mehrere Risse in der Aussenwand beobachten. Diese Risse wurden zunächst mit Mörtel und Füllstücken geflickt, was aber ebenfalls nichts half. Abbildung
Deshalb wurde auf der Höhe von 90 Königsellen der Neigungswinkel der Pyramide von 54.46° nochmals drastisch auf 43.99° reduziert [8]. Bei einer Basislänge von 188.64m (= 360 Königsellen) bewirkte dies ebenfalls, dass die Pyramide bedeutend niedriger wurde, nämlich 104,8 m (= 200 Königsellen) anstatt die geplanten 132m (= 252 Königsellen).

Interessant ist, dass die äusseren Steine geglättet sind - die Pyramide wurde also nicht als eine Fehlkonstruktion angesehen. Bei der Verwendung der Seilrollenböcken von Franz Löhner werden jedoch auch die äusseren Steine immer während des Baus der Pyramide geglättet.
Äussere Steine - Glättung von unten nach oben?
Techniken zur Vermessung und Berechnung der Cheops-Pyramide

Rote Pyramide von Snofru in Dahschur:
Die östliche Basis der Pyramide hat sich wahrscheinlich um 10 cm von Süden gegen die Mitte hin gesetzt.

Pyramide des Amenemhat III in Dahschur:
Diese Pyramide ist ein Beispiel dafür, dass zu grosse Probleme dazu führen konnten, dass der Bau ganz aufgegeben werden musste. Der Druck der Pyramide war für die unterirdischen Gänge und Kammern zu gross und Risse bildeten sich in der Decke und Wänden. So musste der Neigungswinkel der Eingangspassage noch während des Baus geändert werden. Das Bauwerk sackte unter das Pflaster des Hofes. Schliesslich wurde der ganze Bau aufgegeben [4] und Amenemhat III errichtete eine zweite Pyramide in Hawara.

Pyramide von Pepi II in Sakkara:
Hier gab wahrscheinlich der Untergrund nach und das Fundament der Verkleidung musste mit einem 6.5m tiefem Mantel von Kalksteinblöcken umgeben werden, um zu verhindern, dass die Verkleidung abrutschte [4].

Pyramide von Sesostris I in El-Lischt:
Hier wurden die äusseren Steine mühsam nachgeflickt, da der Bauuntergrund nachgab und dabei jeweils die unteren Kanten der Steine der Aussenverkleidung brachen [4].

Beispiele von Vermessungsfehlern bei Pyramiden

Die Ausrichtung der Pyramiden nach den Himmelrichtungen und die extreme Genauigkeit ihrer Ausmasse erstaunt immer wieder. Noch erstaunlicher ist, dass diese Genauigkeit durch recht einfache Vermessungstechniken erreicht wurde. Trotzdem machten natürlich auch die alten Ägyptern Fehler.
Techniken zur Vermessung und Berechnung der Cheops-Pyramide

Chefren-Pyramide in Giza:
Man hat an der Spitze der Chefren Pyramide eine leichte Verzerrung festgestellt [3]. Das heisst, dass wahrscheinlich die Neigungswinkel der Pyramide nicht genau gleich gross waren. Dies wurde auf Mess- und Bearbeitungsfehlern während des Baus zurückgeführt.
Wie wurde das Pyramidion bis zur Pyramidenspitze transportiert?

Nebenpyramiden der Cheops-Pyramide:
Die Pyramiden wurden auf leicht gegen Süden abfallendem Untergrund gebaut, was wohl der Grund ist, dass ihre Ecken leicht verzogen sind, d.h. nicht exakte 90°-Winkel bilden [9].
Mehr Informationen über die Neben- oder Satellitenpyramiden

Pyramide von Sahure in Abusir:
Die östliche Grundlinie des Sockels der Pyramide war wegen eines Vermessungsfehlers um 1.88m höher als wenn er exakt nivelliert worden wäre [4].

Quellen

[1] D. Arnold Lexikon der Ägyptischen Baukunst
[2] M. Lehner The Complete Pyramids of Egypt
[3] W. Petrie The Pyramids and Temples of Gizeh, 1883
[4] D. Arnold Building in Egypt, Kapitel Repairing Damages
[5] J. Kérisel La pyramide a travers les ages
[6] C. Rossi Architecture and Mathematics in Ancient Egypt.
[7] R. Stadelmann Die grossen Pyramiden von Giza
[8] Für die Knickpyramide gibt es in der Literatur Angaben zum Neigungswinkel, die sich um bis zu einem Grad unterscheiden. Auf dieser Seite wurden diejenigen Masse genommen, die am nächsten an den von den Ägyptern verwendeten seked sind. Die 54.46° Neigung entspricht einem seked von 5 Handbreit, der reduzierte Winkel von 43.99° einem seked von 7 Handbreit und 1 Finger (= 29 Finger).
Techniken zur Vermessung und Berechnung der Cheops-Pyramide (Erklärung was ein seked ist)
[9] P. Janosi Die Pyramidenanlagen der Königinnen

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