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Berechnungen und Zahlenmaterial

Berechnungen zu Reibungskoeffiezienten und Kraftaufwand

Auf dieser Seite wird berechnet, wie viele Schlepper es mit und ohne die umlenkende Seilrolle braucht, um einen 2.5-Tonnen Block die 52° steile Pyramidenflanke hinaufzuziehen.

Die Aufstellungen auf dieser Seite basieren auf Berechnungen von Dr. Heribert Illig und Prof. Dr. Dipl. Ing. H.U. Niemitz [1].

Ergebnis - Faktoren - Physikalische Begriffe - Schmiermittel - Zugkraft Schlepper - Kraftaufwand schiefe Ebene ohne Seilrolle - Zugkraft und Reibung - Zugkraft und Haftung - Einbezug Eigengewicht und Schwerkraft - Anzahl Schlepper mit / ohne Seilrolle - Kontrolle: höhere Reibungskoeffizienten - Kontrolle: mehr Zugkraft pro Schlepper - Fazit - Riesige Granitsteine - Quellen

Ergebnisse in Kürze

Mit den unterstehenden Berechnungen [1] wird der Nachweis erbracht, dass ein 2.5 Tonnen-Steinblock samt Schlitten mit nur 46 Mann auf der Pyramidenflanke (Steigungswinkel 52° = 46.6%) hinaufgezogen werden kann, und zwar nur Dank der umlenkenden Seilrolle. Durch dieses System können die Schleppmannschaften auf der schiefen Ebene unter Einsatz ihres Körpergewichts - nicht nur mit ihrer Kraft - die Last hinaufziehen. Dies indem sie hinabmarschieren! Illustration
Löhners Seilrollenbock (Umlenkbock)
Gleisanlage mit Seilrollenstation auf der Pyramidenflanke

Für die Cheops-Pyramide ergeben sich dann folgende Mannschaftsstärken (Anzahl Mann pro 2.5 Tonnen-Block):

Kann diese Methode auch für die riesige 50-Tonnen Granitblöcke der Königskammer verwendet werden? Berechnungen zeigen, dass dies mit Gegengewichten und zusätzlichen Schleppern durchaus möglich war - siehe Berechnungen weiter unten
Schwerlastenaufzug mit Gegengewicht für die riesigen Granitriegel
Berechnung der Anzahl Bauarbeiter für die Cheops-Pyramide

Welche Faktoren spielen bei der Berechnung des Kraftaufwandes mit?

1. Reibung μs zwischen Schlitten und Schienen (vermindert durch Schmiermittel) 2. Reibung μz der Holzlager der Seilrolle (vermindert durch Schmiermittel) 3. Zugkraft der Schlepper auf gerader Ebene 4. Der Steigungswinkel (52° bei der Cheops-Pyramide) 5. Eigengewicht der Schlepper und Wirkung der Schwerkraft beim Einsatz der Seilrollenböcke von Franz Löhner 6. Haftreibung μo des Schlittens auf den Schienen

Was ist Reibung und was ist ein Reibungskoeffizient?

Reibung ist der Verlust an mechanischer Energie beim Ablaufen, Beginnen oder Beenden einer Relativbewegung sich berührender Stoffbereiche. Wie hoch die Reibung ist hängt von den Eigenschaften der sich reibenden Körper ab, wie etwa ihrer Rauheit. Um diese Reibung zu vermindern verwendet man in der Technik Schmiermittel. Der Reibungskoeffizient ist ein Mass dafür, wie gross die Reibkräfte sind, die zwischen zwei Festkörpern wirken. [4]

Reibung und Schmiermittel

Seilreibung:
Das umlaufende Seil soll die Seilrolle möglichst ohne jeden Schlupf [4] drehen und nicht übers Holz rutschen. D.h. es sollten möglichst wenig Unterschiede zwischen der Drehgeschwindigkeit des Seils und derjenigen des Holzes bestehen. Der Reibungskoeffizient von Hanfseil auf rauhem Holz ist μ=0,5. Das ist sehr hoch und heisst, dass das Seil nur minimal auf der Rolle scheuert.

Lagerreibung des Umlenkblocks:
Die Lagerreibung des Umlenkblockes ist von zentraler Bedeutung. Sie kann durch die Wahl der Materialien und der Schmiermittel gesenkt werden.

Achtung - diese Werte sind nicht der Haftreibungszahl gleichzusetzen, die wesentlich höher ist. Etwa bei Holz auf Holz ist die Haftreibung (trocken) 0,40 bis 0,75!
Löhners Seilrollenbock (Umlenkbock)

Schmiermittel:
Den Ägyptern ist sicher zuzutrauen, dass sie die Reibung zwischen den von ihnen verwendeten Materialien durch praktische Versuche auf einen Wert drücken konnten, der im unteren Bereich der Skalenwerte liegt, für die Berechnungen werden deshalb solche Werte verwendet.
Zur Kontrolle die Rechnung mit einer Erhöhung der Reibungskoeffizienten

- Reibungskoeffizient zwischen Schlitten und Schiene μs = 0,04
- Reibungskoeffizient zwischen Holz- und Metall-Lager (Lagerreibung) μz = 0,04

Diese Zahlen für Reibung sind theoretischer Natur, sie lassen sich durch die Schmierung der Geleise noch weiter vermindern.

1. Verminderung der Reibung zwischen Schlitten und Schienen:
Franz Löhner hat verschiedene Schmiermittel ausprobiert und mit leicht verwässertem Öl gute Resultate erzielt.
Steintransport mit Schlitten auf Geleisen (mehr Infos)

2. Verminderung der Reibung der Lager der Seilrolle:
Öl fettet besser als Tierfett. Möglicherweise wurde aber sogar die so genannte Kupferschmiere verwendet.
Löhners Seilrollenbock (Umlenkbock) (mehr Infos)

Zugkraft der Schlepper

Für die Schlepper nehmen wir eine Zugkraft von 12kp an (=117.7N / 1kp = 9,80665 g·m/s² / 1N = 1 kg m/s²). Dieser Wert war einst verbindlich für das Treideln französischer Schleppkähne [3]. In der Literatur werden Werte von 10 bis 15 kp gerechnet (weiter unten - siehe Berechnungen mit 15kp anstatt 12kp). Wir verwenden die tieferen Werte und berechnen, ob es auch so funktioniert.
Historische Quellen als Grundlage der Berechnungen

Beim Steinschleppen handelt es sich wie beim Treideln um eine Dauerleistung. Der Wert liegt deshalb auch deutlich unter der maximalen Zugkraft, die eine Person aufbringen kann. Der Prozess des Schleppens sollte ausserdem möglichst selten unterbrochen werden, denn bei jedem Neustart des Zugschlittens ist zunächst die sogenannte Haftreibung zu überwinden.

Zur Kontrolle:
Auf dem bekannten Fries aus dem Grab des Djehutihotep (Djehuti-Hetep) in Deir El Berscheh sind 172 Schlepper abgebildet, die eine 58 bis 60-Tonnen schwere Koloss-Statue schleppen (Abbildung). Bei einer Zugkraft von je 12kp pro Mann erbringen die 172 Schlepper zusammen 2'064 kp mit denen sie 60 Tonnen auf der Ebene ziehen. Als Reibungskoeffizienten μs erhalten wir 0,03 (2'064 : 60'000 = 0,0344). Für die Berechnungen auf dieser Seite erhöhen wir ihn auf 0,04 (siehe weiter oben).
Schlitten als Transportmittel: Abbildung Relief aus dem Grab des Djehutihotep in Deir El Berscheh

K = Kraft / G = Gewicht / μs = Reibungskoeffizienten (zwischen Schlitten und Schienen)

Kraftaufwand auf der schiefen Ebene ohne Seilrolle

Ein Stein fällt mehr "ins Gewicht" je steiler er angehoben wird.

P = parallel zur schiefen Ebene wirkende Kraftkomponente (oder Hangabtriebskraft)
R = Reibungskraft / N = Normalkraft / G = Gewicht

Das heisst je steiler der Winkel ist (rechts), desto schneller kommt der Stein ins Rutschen und desto mehr beschleunigt er sich.

Wie jeder aus eigener Anschauung weiss, braucht es ausserdem um einen Stein hinauf zu schieben mehr Kraft je steiler der Hang ist (= grösserer Steigungswinkel). Wie wir weiter unten sehen werden, kommt der Stein ohne die Hilfe der Seilrolle ab einem gewissen Winkel ins Rutschen.
K = Kraft / G = Gewicht / μs = Reibungskoeffizient (zwischen Schienen und Schlitten) / α = Steigungswinkel

Ohne Seilrolle gilt folgende Formel:

Zugkraft in Abhängigkeit von Reibung

Die Formel muss um den Lagerreibungskoeffizienten μz erweitert werden, um die Seilrolle ins Spiel zu bringen. Mit wachsendem Reibungskoeffizienten steigt hier die notwendige Kraft markant (siehe letzte Kolonne der Tabelle 1).
K = Kraft / G = Gewicht / μs = Reibungskoeffizient (zwischen Schienen und Schlitten) / μz = Lagerreibungskoeffizient (Lager und Rolle) / α = Steigungswinkel

Folgende Werte werden verwendet:
1. Reibungskoeffizient zwischen Schlitten und Schiene μs = 0,04 (siehe oben unter Schmiermittel)
2. Reibungskoeffizient Lager der Seilrolle μz = 0,00 bis 0,6 (mit dem Einsatz von Schmiermitteln kann wahrscheinlich die Lagerreibung auf μz = 0,04 reduziert werden)
3. Steigungswinkel α = 0° bis 52° (= Steigungswinkel Pyramidenflanke Cheops)
4. Gewicht eines Steinblocke (2.500 kg) plus Schlitten, Seil und Geschirr (300 kg) = 2800 kg [5]

TABELLE 1 (Zahlen nach [1] S. 76)

Der Wert 0,00 (erste Kolonne) zeigt, welche Zugkräfte ohne die umlenkende Seilrolle entsteht. Der Wert 0,04 (dritte Kolonne) wird als Reibungskoeffizient mit Seilrolle angenommen. Die Werte der dritten Kolonne sind höher, da wir das Eigengewicht und die Schwerkraft noch nicht miteinbezogen haben (siehe unten).

Zugkraft in Abhängigkeit von Haftung - wann kommt man ins Rutschen?

Bei den Berechnungen muss nun noch der Haftreibungskoeffizient μo berücksichtigt werden. Das heisst, die Zugkraft hängt von der Bodenhaftung auf der Schräge ab. Für eine ungetreppte Rampe kann der Wert von μo = 0,2 genommen werden.
K = Kraft / G = Gewicht / μo = Haftreibungskoeffizient (zwischen Schlitten und Geleise) / α = Steigungswinkel

Bei einem Gewicht G = 60kg kommt der Schlepper bei 20° bezw. bei besserer Haftung bei 30° ins Rutschen (Kraft = negativ, auf der Tabelle mit - eingezeichnet).

TABELLE 2 (Zahlen nach [1] S. 77)

Einbezug des Eigengewichts und der Schwerkraft

Je steiler die Rampe ist, desto besser können die Schlepper ihr eigenes Gewicht (ca. 60 kg) "in die Waagschale" werfen, und es auf dem Weg nach unten einsetzen.
K = Kraft / G = Gewicht / μo = Haftreibungskoeffizient (Schlitten und Geleise)/ α = Steigungswinkel

TABELLE 3 (Zahlen nach [1] S. 80)

Fazit: Bei 52° kann der Schlepper also 54,7 kg seiner 60 kg einsetzen. Bei 90° hätten wir einen Aufzug, bei dem der Schlepper seine 60kg als reiner Ballast im Förderkorb einsetzen könnte. Mit der Seilrolle kann der Schlepper aber noch zusätzlich seine Zugkraft einbringen, das heisst er setzt nicht nur sein Gewicht ein, sondern zieht noch kräftig am Seil [1].

Berechnung der benötigten Anzahl Schlepper mit und ohne Seilrolle

Ohne Seilrolle rechnen Ägyptologen mit Rampensteigungen von 8 bis 12° (7.2% bis 10.8% Steigung) [3] die noch mit Schleppmannschaften zu bewältigen wären. Die Berechnungen auf dieser Seite zeigen jedoch deutlich, dass ab 5° Steigung mit 50 Schleppern gerechnet werden muss, bei 10° sogar schon über 400 Schlepper für einen 2.5 Tonnen-Block! Nicht vorstellbar, wie viele Leute es brauchen würde, um einen 40-Tonnen Granitblock hinauf zu schleppen!

TABELLE 4 (Zahlen nach [1] S. 80) mit μo = 0,2

* Mannschaftsstärken: Links und rechts läuft je eine Team von Schleppern hinunter. Ausserdem ziehen je zwei Mann nebeneinander am Strick.

Mit Hilfe der umlenkenden Seilrolle können Steigungen von 52° und mehr überwunden werden. Dies vor allem, weil dann die Schlepper abwärts laufen können und dabei Dank der Schwerkraft weniger Muskelkraft aufwenden müssen.

Zur Kontrolle: Erhöhung der Reibungskoeffizienten

Berechnungen mit andern Reibungskoeffizienten zeigen, dass die Steigung der Pyramidenflanke auch mit höheren Werten (= schlechteren Werten) bewältigt werden kann. Bei einem Lagerreibungskoeffizient μz von 0,1, der für die Ägypter auf jeden Fall erreichbar war, errechnen sich anstatt 46 Mann nun 51 Mann. Das heisst eine Verschlechterung des Reibungskoeffizienten von 0,04 auf 0,1 (= + 150%) ergibt 5 Mann mehr (= + 11 %).

2781 kp : 54,7 kp ≈ 51 Schlepper (2781 kp siehe Tabelle 1, 5. Kolonne / 54,7 kp siehe Tabelle 3, 1. Kolonne)

Zur Kontrolle: Erhöhung der Zugkraft der Schlepper auf 15kp

Wir berechnen nochmals die Anzahl benötigter Schlepper, aber diesmal nehmen wir eine höhere Zugkraft pro Person an, anstatt mit 12kp rechnen wir mit 15kp, das heisst die Schlepper setzen mehr Muskelkraft ein.

Als Beispiel nehmen wir die Zahlen eines bekannten amerikanischen Ägyptologens, von Mark Lehner [6]. Auf der geraden Ebene rechnet er mit 7.5 Mann pro 2.5 Tonnen. Wenn man sonst die gleichen Werte für Reibung etc. für die Berechnungen nimmt, so ergibt das 15kp pro Schlepper (siehe 2. Kolonne der Tabelle 5). Um auf diese Werte zu kommen muss Mark Lehner einen Haftreibungskoeffizienten μo = 0.25 angenommen haben (Tabelle 2, 2. Kolonne).

Da Mark Lehner im Text als Kontrollwert den bekannten Fries aus dem Grab des Djehutihotep in Deir El Berscheh erwähnt, der 172 Schlepper mit einer 60 Tonnen-Statue zeigt, berechnen wir zur Vorsicht noch den Reibungskoeffizienten μs und erhalten 0,043 - gerechnet haben wir auf dieser Seite mit μs= 0,04 (172 x 15kp = 2580kp / 2580 : 60'000 = 0,043). Mehr dazu.

Bei einer Steigung von ca. 6° rechnet er bei einem 2.5 Tonnen-Block mit 20 Mann, die einen 333m-Weg in 19 Minuten schaffen. Unsere Berechnungen ergeben bei seinen Werten jedoch schon bei 5° ein Zahl von 36.5 Schlepper (Tabelle 2, zweite Kolonne für 15kp). Mark Lehner hat, wie viele andere Theoretiker, eindeutig die Kräfte, die sich auf einer schiefen Ebene entwickeln viel zu wenig berücksichtigt!

TABELLE 5 [7]

Trotz Erhöhung der Zugkraft pro Mann von 12kp auf 15kp braucht es mit Löhners Seilrolle immer noch ab 5° weniger Schlepper als ohne, nämlich nur 23 anstatt 36 Mann!

Fazit

Der Seilrollenbock kann ebenfalls auf den kurzen Transportrampen vom Hafen zum Bauhof und von den pyramidennahen Steinbrüchen zum Bauhof mit Vorteil eingesetzt werden. Auch in den Steinbrüchen von Assuan oder beim Beladen der Schiffe ist der Seilrollenbock ein nützliches Hilfsmittel.
Steintransport auf Nil-Schiffen
Steintransport mit Schlitten auf Geleisen
Transport der Steine die Pyramidenflanke hinauf

Diese Berechnungen zeigen wieder mit aller Deutlichkeit, dass Rampen mit mehr als 5° Steigung schlichtweg nicht machbar sind.
Bekannteste Rampenmodelle widerlegt

Transport der Granitblöcke mit einem Schwerlastenaufzug mit Gegengewichten

Kann diese Methode auch bei den schweren Granitsteinen angewendet werden, welche 40 bis 50 Tonnen wiegen und für die Königskammer verbaut wurden? Ja - aber mit Gegengewichten und grösseren Schleppmannschaften. Wir verwenden 8 grosse Steine als Gegengewichte (von je 5.6 Tonnen) und die Differenz an Gewicht wird von zwei Schleppmannschaften hochgezogen. Diese Differenz beträgt je nach Grösse des Granitsteins 3.2 bis 7.2 Tonnen (48-52t minus 44.8t). Das heisst, die zwei Mannschaften links und rechts schleppen also je nach Grösse des Granitriegels 1.6 bis 3.6 Tonnen. Unsere Berechnungen ergeben, dass es zwischen 32 und 64 Schlepper pro Team braucht.
Schwerlastenaufzug mit Gegengewicht für die riesigen Granitriegel

TABELLE 6: Anzahl Schlepper bei verschiedenen Gewichtklassen [7]

Ohne Gegengewichten aber unter Einsatz der Seilrolle würden folgende Mannschaftsstärken gebraucht:

Quellen

[1] H. Illig und F. Löhner Der Bau der Cheops-Pyramide (Berechnungen Dr. Heribert Illig und Prof. Dr. Dipl. Ing. H.U. Niemitz)
[2] Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen, Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau
[3] G. Goyon Die Cheops-Pyramide (S. 95ff Überprüfung und Neuberechnung der von L. Croon vorgeschlagenen Anzahl von Schleppern)
[4] Wikipedia zum Thema Reibungskoeffizient / Schlupf / Haftreibung / schiefe Ebene
[5] D. Arnold Building in Egypt: Bei der Cheops-Pyramide sind die Blöcke in den untersten 10 Steinlagen 1m mal 2.5m und 1-1.5m hoch. Oben sind sie etwa 1m mal 1m und 0.5m hoch. Bei einer Rohdichte von 2,6 - 2,9 t/m³ (Kalkstein) ergibt das Gewichte von 6.5 - 10 Tonnen für die grossen Steine und 1.3 Tonnen für die kleinen Steine. Man rechnet mit 2.5 bis 3 Tonnen in den meisten Schichten (Die Blöcke haben eine durchschnittliche Grösse von 127 x 127 x 71cm, was ein Gewicht von 2.9 Tonnen ergibt).
[6] M. Lehner The Complete Pyramids of Egypt Seite 225
[7] Berechnungen T. Zuberbühler

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